En nuestra lección anterior, aprendiste a resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos. Esta vez, queremos resolver ecuaciones exponenciales. requiriendo el uso de logaritmos. ¿Por qué? La razón es que no podemos manipular la ecuación exponencial para que tenga la misma base o una base común en ambos lados de la ecuación. Si encuentra ese tipo de problema, los siguientes son los pasos sugeridos:
Pasos para resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos
1) Mantenga la expresión exponencial sola en un lado de la ecuación.
2) Obtenga los logaritmos de ambos lados de la ecuación. Puedes usar cualquier bases para troncos.
3) Resuelve para la variable. Mantenga la respuesta exacta o proporcione aproximaciones decimales. Además de los pasos anteriores, asegúrese de revisar las reglas básicas del logaritmo porque las usará de una forma u otra.
¡Repasemos algunos ejemplos!
Ejemplos de cómo resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación exponencial {5 ^ {2x}} = 21.
Lo bueno de esta ecuación es que la expresión exponencial ya está aislada en el lado izquierdo. Ahora podemos tomar los logaritmos de ambos lados de la ecuación. No importa qué base del logaritmo usar. La respuesta final debería ser la misma. La mejor opción para la base de la operación logarítmica es 5, ya que es la base de la expresión exponencial en sí. Sin embargo, también usaremos en el cálculo la base común de 10 y la base natural del color {rojo} e (denotado por el color {azul} ln) solo para mostrar que al final, todos tienen las mismas respuestas.
- Base de registro de 5
- Base de registro de 10
- Base de registro de e
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación exponencial 2izquierda ({{3 ^ {x - 5}}} derecha) = 12.
Como puede ver, la expresión exponencial de la izquierda no es por sí sola. Debemos eliminar el número 2 que está multiplicando la expresión exponencial. Para hacer eso, divida ambos lados por 2. Eso nos dejaría solo la expresión exponencial a la izquierda y 6 a la derecha después de la simplificación.
Es hora de tomar el registro de ambos lados. Dado que la expresión exponencial tiene base 3, esa es la base conveniente para usar para la operación de registro. Además, también resolveremos esto usando la base natural e solo para comparar si nuestros resultados finales concuerdan.
- Base de registro de 3
- Base de registro de e
Ejemplo 3: Resuelve la ecuación exponencial 2izquierda ({Large {{{{{e ^ {4x - 3}}} sobre {{e ^ {x - 2}}}}}}} derecha) - 7 = 13.
Esto parece un desastre al principio. Sin embargo, si sabe cómo empezar, la solución a este problema será muy sencilla. Lo primero que debemos hacer es simplificar la expresión entre paréntesis. Usa la regla de división del exponente copiando la base común de ey restando la parte superior por el exponente inferior.
Ahora, aísle la expresión exponencial sumando ambos lados por 7, y luego dividiendo la ecuación completa por 2.
Calcula el logaritmo de ambos lados. Use color {red} ln porque tenemos una base de e. Luego resuelve para la variable x.
Ejemplo 4: Resuelve la ecuación exponencial {1 sobre 2} {izquierda ({{{10} ^ {x - 1}}} derecha) ^ x} + 3 = 53.
Observe que la expresión exponencial se eleva ax. Simplifique esto aplicando el poder a una regla de poder. Hazlo copiando la base 10 y multiplicando su exponente por el exponente exterior. Debería verse así después de hacerlo.
Ahora podemos aislar la expresión exponencial restando ambos lados por 3 y luego multiplicando ambos lados por 2.
Tome el logaritmo de ambos lados con base 10. Si solo ve un registro de color {rojo} sin ninguna base específica, se entiende que tiene 10 como base.
Vamos a resolver esta ecuación cuadrática mediante el método de factorización. Muevamos todo al lado izquierdo, por lo tanto, hagamos que el lado derecho sea igual a cero. Factoriza el trinomio en dos binomios. Establezca cada factor binomial igual a cero y luego resuelva para x.
Ejemplo 5: Resuelve la ecuación exponencial {e ^ {2x}} - 7 {e ^ x} + 10 = 0.
Necesitaremos una estrategia diferente para resolver esta ecuación exponencial. Observe que en realidad podemos convertir esto en un trinomio factorizable. Primero, dejamos m = {e ^ x}. Reescribe la expresión exponencial usando esta sustitución.
Factoriza el trinomio como un producto de dos binomios. Luego reemplace m por e ^ x nuevamente.
Finalmente, iguale cada factor a cero y resuelva para x, como de costumbre, usando logaritmos.
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